Linear Regression

• Used for predicting a continuous value

• Formulas:

• \(y = mx + b\) (where \(y\) is the predicted value, \(x\) is the input feature, \(m\) is the slope, and \(b\) is the y-intercept)

• Mean Squared Error (MSE) loss function: \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2\)

Logistic Regression

• Used for predicting a binary outcome (e.g. yes/no, pass/fail)

• Formulas:

• sigmoid function: $ $ (where \(z\) is the input to the function)

• Cross-Entropy loss function: \(-\sum_{i=1}^n y_i log(\hat{y_i}) + (1-y_i)log(1-\hat{y_i})\)

Regression with regulation

• reduces complexity of regression

• allow the use of correlated varibles

• cost function : \(\beta = argmin_{\beta} \frac{1}{n}||Y - X\beta||_2^2 + \lambda_1||\beta||_1 + \frac{\lambda_2}{2}||\beta||_2^2\)

Decision Tree

• Used for both classification and regression

• good for interaction

• Formulas:

• Information Gain: \(IG(D_{p},f) = I(D_{p})-\sum_{j=1}^{m} \frac{N_j}{N_p}I(D_j)\)

• Gini Index : \(Gini(D)= 1-\sum_{i=1}^{c}p_i^2\)

Random Forest

• Used for both classification and regression

• Bootstrap Aggregating (Bagging)

• Random Subspace Method (RSM)

Support Vector Machine (SVM)

• Used for classification

• Formulas:

• Linear SVM : \(y = wx + b\)

• Non-Linear SVM : \(y = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i y_i K(x_i,x) + b\)

Neural Network

• Used for both classification and regression, as well as unsupervised learning

• Feedforward: \(a = f(Wx + b)\)

• Backpropagation: \(\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial a} * \frac{\partial a}{\partial w}\)

K-means Clustering

• Used for unsupervised learning

• Distance: \(d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}\)

• Centroid: \(\mu_j = \frac{\sum_{i=1}^{n} 1_{c_i = j} x_i}{\sum_{i=1}^{n} 1_{c_i = j}}\)

Principal Component Analysis (PCA)

• Used for unsupervised learning

• Example: dimensionality reduction

XGBoost

• XGBoost stands for “eXtreme Gradient Boosting”

• It is an ensemble learning method for classification and regression problems

• XGBoost is based on decision trees

• XGBoost algorithm can handle missing values and can be used for feature selection

Exemple visuel

Critère de séparation des données:

• L’impureté de Gini : \[ Gini = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|t)^2 \]

• \(P(i|t)\) : la probabilité d’appartenance à la classe \(i\) pour les données dans le nœud \(t\).

L’impureté de Gini : probabilité qu’un élément choisi au hasard dans le nœud soit mal classé.

Critère de séparation des données:

• L’entropie :

\[ H(S) = -\sum_{i=1}^{n}P(i|S)log(P(i|S)) \]

• \(P(i|S)\) : la probabilité d’appartenance à la classe \(i\) pour les données dans l’ensemble \(S\). L’entropie : incertitude des données dans l’ensemble.

Exemple arbre de décision

Exemple arbre de décision

1. On calcule l’entropie pour chaque propriété pour chaque propriété (couleur, poids, nombre de pépins) en utilisant les données de l’ensemble.

\[ Gini(base) = 1-1/5^2-1/5^2-1/5^2-1/5^2-1/5^2 \]

\[ Gini(couleur) = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|couleur)^2 \]

\[ Gini(poids) = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|poids)^2 \]

\[ Gini(nombre\ de\ pépins) = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|nombre\ de\ pépins)^2 \]

Calcul pour couleur :

\[ Gini(rouge) = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|rouge)^2 = 1 - 0^2 - 0^2-0.5^2-0.5^2 = 0.75 \]

\[ Gini(jaune) = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|rouge)^2 =\\ 1 - 0^2 - 0^2-1^2-0^2 = 0 \] \[ Gini(vert) = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|rouge)^2 = 1 - 0.5^2 - 0^2-0.5^2-0^2 = 0.75 \] \[ Impurete\_moyenne = 2/5*Gini(rouge)+1/5*Gini(ver)\\+2/5*Gini(jaune) = 0.6 \]

Calcul pour nombre de pépins :

• \[ Gini(nbpepin>4) = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|nbpepin>4)^2 =\\ 1 -0^2- 0^2 - 1/3^2-1/3^2-1/3^2 = 0.66 \]

• \[ Gini(nbpep\leq4) = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|\leq4)^2 = \\1 -1/2^2- 1/2^2 - 0^2-0^2-0^2 = 0.75 \]

• \[Gini(nb\_pep) = 2/3*0.66+1/3*0.75 = 0.69 \]

2. propriété qui minimise l’impureté de Gini pour séparation : \(nb_pep \leq4\).

3. On crée deux sous-nœuds pour les fruits avec plus ou moins de 4 pépins

4. On répète les étapes 1 à 3 pour chaque sous-nœud en utilisant uniquement les données associées à ce sous-nœud. Exemple, \[ Gini(poids | nbpep\leq4) = 1 - \sum_{i=1}^{n}P(i|poids,nbpep\leq4)^2 \]

5. On répète jusqu’au critère de fin

Hyperparamètres arbre de decision

• Criterion : entropy ou gini

• splitter : best ou random

• Profondeur maximale : \(Max\_depth\)

• Nombre minimum d’éléments dans un noeud de feuille : \(Min\_samples\_leaf\)

• Nombre maximum de feuilles : \(Max\_leaf\_nodes\)

• Nombre minimum de split : \(Min\_samples\_split\)

Pruning arbre :

• Pré-élagage : règle d’arrêt évaluer à chaque nouveau nœud qui stoppe la construction de l’arbre -> méthode de haut en bas

• Post-élagage : Construction de l’arbre dans son intégralité puis calcul de l’intérêt de chaque nœud en partant des nœud terminaux -> méthode de bas en haut

Avantages inconvenients :

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Interpretability and Random Forests | by Tom Grigg | Towards Data Science

Implémentation R et Python

• r : rpart https://ouvrir.passages.cnrs.fr/arbre_decision/_book/pratique.html

• python : sklearn.tree.DecisionTreeClassifier

Régression logistique

https://mlu-explain.github.io/logistic-regression/

• Y binaire

• Modélisation de \[ P(Y=1) \]

• \(P(y=1|x) = \frac{1}{1 + e^{-(b_0 + b_1x_1 + b_2x_2 + ... + b_nx_n)}}\)

• Fonction sigmoïdale comprise entre 0 et 1

Régression linéaire

• Y quantitative

• \(y = b_0 + b_1x_1 + b_2x_2 + ... + b_nx_n\)

• possibilité d’effet non linéaire : \(y = b_0 + b_1x_1^2 + b_2x_2 + ... + b_nx_n\)

Regression pénalisée

• Contraindre la valeur des estimateurs des moindre carrés pour réduire la variance

• \(\beta = argmin_{\beta} { \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \sum_{j=1}^{p}x_{ij}\beta_j)^2 + contrainte}\)

Ridge :

\(\beta = argmin_{\beta} { \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \sum_{j=1}^{p}x_{ij}\beta_j)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} \beta_j^2}\)

#\| output-location: column
library(glmnet)
y <- mtcars$hp
x <- mtcars %>% select(mpg, wt, drat) %>% data.matrix()
reg.ridge = glmnet(x, y, alpha=0)
par(mfrow = c(1, 2))
  plot(reg.ridge, lwd = 2)
  plot(reg.ridge, lwd = 2, xvar = "lambda")

CV de lambda

lambdas <- 10^seq(3, -2, by = -.1)
cv_fit <- cv.glmnet(x, y, alpha = 0, lambda = lambdas)
plot(cv_fit)

Regression LASSO

\(\beta = argmin_{\beta} { \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \sum_{j=1}^{p}x_{ij}\beta_j)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} |\beta_j|}\)

• Lasso “defini à zéros les betas proches de 0”

reg.ridge = glmnet(x, y, alpha=1)
par(mfrow = c(1, 2))
  plot(reg.ridge, lwd = 2)
  plot(reg.ridge, lwd = 2, xvar = "lambda")

Elasticnet

Compromis ridge lasso

\(\beta = argmin_{\beta} { \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \sum_{j=1}^{p}x_{ij}\beta_j)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} ((1-\alpha)\beta_j^2 + \alpha|\beta_j|)}\)

• si \(\alpha =0\) : ridge

• si \(\alpha =0\) : lasso

Hyperparamètres régression pénalisée

• alpha pour définir le type de pénalisation

• lambda (force de la pénalisation)

Implémentation R et Python

• r : glmnet

• python : sklearn.linear_model https://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html

Règles linéaires :

• Séparer l’espace \(X\) par un hyperplan

• Classe positive : \(g(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } w^Tx + b > 0 \\ -1 & \text{sinon} \end{cases}\)

• définir le meilleur hyperplan par algorithme d’optimisation

Implémentation R et Python

• r : e1071

• python : sklearn.svm https://scikit-learn.org/stable/modules/svm.html

library(e1071)
x = matrix(rnorm(40), 20, 2)
y = rep(c(-1, 1), c(10, 10))
x[y == 1,] = x[y == 1,] + 1
plot(x, col = y + 3, pch = 19)

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SVM : Cas non séparable

• Rajout d’un paramètre de cout \(C\) à calibrer

SVM : Cas non séparable

• \(C\) : constante de régularisation

• \(C \searrow\) : augmentation de la marge, des erreurs

• \(C \nearrow\) : diminution de la marge, risque surajustement

Séparation linéaire pas toujours possible

-

Fonction noyau

\[ K(\textbf{x}_i, \textbf{x}_j) = \phi(\textbf{x}_i)^T \phi(\textbf{x}_j) \]

• SVM peuvent être appliqués sur \(\phi(x)\) sans calculer \(\phi\)

• Il suffit de calculer le noyau \(K(x,x')\)

Type de noyau

• Noyau linéaire:

  \[ K(\textbf{x}_i, \textbf{x}_j) = \textbf{x}_i^T \textbf{x}_j \]

• Noyau polynomial: \[ K(\textbf{x}_i, \textbf{x}_j) = (\textbf{x}_i^T \textbf{x}_j + c)^d \] où \(c\) est l’hyperparamètre de décalage et \(d\) est le degré du polynôme.

• Noyau radial (ou gaussien): \[ K(\textbf{x}_i, \textbf{x}_j) = \exp\left(-\frac{|\textbf{x}_i - \textbf{x}_j|^2}{2\sigma^2}\right) \] où \(\sigma\) est un des hyperparamètres appelé la largeur de bande.

• Noyau sigmoid: \[ K(\textbf{x}_i, \textbf{x}_j) = \tanh(\alpha\textbf{x}_i^T \textbf{x}_j + r) \] où \(\alpha\) et \(r\) sont des hyperparamètres.

Hyperparamètre

• coût \(C\)
• noyau
• paramètres des noyaux

GIF

Bootstrap

• Echantillon initial : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

• Bootstrap : tirages de n avec remise :

Forêt aléatoire

Forêt aléatoire

Rappel sur la profondeur des arbres :

• petite : biais \(\searrow\), variance \(\nearrow\)

• grande : biais \(\nearrow\), variance \(\searrow\)

Forêt aléatoire

• Ensemble d’arbres

• aggragétions d’arbres constitués sur des échantillons bootstrapés

https://www.stat.berkeley.edu/~breiman/RandomForests/

Coupure aléatoire

• Choix aléatoire des variables de chaques arbres

• Idée : choisir la “meilleure” variable dans un ensemble réduit de variable

• \(mtry\) nombre de variable choisies alétoirement

• but : diminuer la correlation entre les arbres

Prévision:

\(\hat{y}(x) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}[\hat{y}_{tree_i}(x)]\)

\(\hat{y}(x) = \text{argmax}_{c\in C} \sum_{i=1}^{N}[tree_i(x) = c]\)

Avantages Rf

• Fonctionne bien avec des données de grande dimension

• Effectue implicitement de la sélection de variables

• Peu d’influence des outliers

• Généralement efficace

• Computationnellement lourd

• Black box

Hyperparamètre :

• n arbres

• mtry, si trop grand -> surapprentissage

• min.node.size : nombre minimum de noeud par arbre / profondeur des arbres

R et Python

• r : ranger ou randomforest
• sklearn

OOB

Out of bag error : Estimation de l’erreur de classification sur les sujets non sélectionnés par le boosting

Boosting

• Le terme Boosting s’applique à des méthodes générales permettant de produire des décisions précises à partir de règles faibles (weaklearner)

Boosting

Principes

• Place the K centroids at random locations

• Assign all data points to the closest centroid (using Euclidean distance)

• Compute the new centroids as the mean of all points in the cluster

ACP